Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes. Hallemos el conjunto de ceros: $\begin{gathered} 2 e^{x}=0 \\ e^{x}=0 \\ x=\ln (0) \end{gathered}$ Esto es absurdo, pues no existen los logaritmos de cero • $C^{0} = \emptyset$ Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. Como $C^{0} = \emptyset$, eso significa que la funcion no cruza al eje $x$, es decir, es totalmente positiva o totalmente negativa. Tomamos un valor cualquier y evaluamos la función: $f(0)=2e^{0}=2.1=2$ Viendo esto, podemos decir que la funcion es totalmente positiva, o sea: • $C^{+} = \Re$ • $C^{-} = \emptyset$ Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:

$\begin{gathered} 2 e^{x}=y \\ e^{x}=\frac{y}{2} \\ x=\ln \left(\frac{y}{2}\right) \\ y^{-1}=\ln \left(\frac{x}{2}\right) \end{gathered}$ Para hallar su dominio, analizamos el argumento. $\frac{x}{2}>0$ $x>0$ $Domf^{-1} = (0 ;+\infty)$ • $Imf =(0 ;+\infty)$ Asíntotas verticales: No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio. • No hay AV Asintotas Horizontales:

$\lim _{x \rightarrow \infty} 2 e^{x}=\infty$ Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 e^{x}=2 e^{-\infty}=2\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)=2\left(\frac{1}{\infty}\right)=2(0)=0$

 • Hay AH en $y=0$ por izquierda La gráfica nos quedaría así: